Мультипликативная группа по модулю p

  1. Резюме по теории групп
  2. Возведение
  3. Порядок элемента
  4. Циклические группы и генераторы
  5. Теорема Лагранжа
  6. Вернуться к $ \ mathbb {Z} _p ^ * $
  7. Маленькая теорема Ферма
  8. Сокращение показателей
  9. Генераторы с $ p = 11 $
  10. В поисках генератора
  11. Большой главный фактор
  12. Дискретный логарифм
  13. Проблема дискретного логарифма (DLP)
  14. Заметки
  15. Рекомендации
  16. Связаться с нами

$ \ newcommand {\ ord} {\ mathop {\ rm ord} \ nolimits} $

На этой странице рассматривается мультипликативная группа по модулю p для простого $ p $, $ \ mathbb {Z} _p ^ * $, которая используется в криптография с открытым ключом с использованием дискретных логарифмов , Мы рассмотрим некоторые свойства, относящиеся к его использованию в криптографии, и резюмируем некоторые основные теории групп. Мы предполагаем, что вы понимаете модульную арифметику и конгруэнции и некоторую базовую теорию групп (определение, аксиомы, подгруппы).

Мультипликативная группа по модулю p - это множество $ p-1 $ элементов $ \ {1,2, \ ldots, p-1 \} $ при умножении групповой операции по модулю $ p $, где $ p $ - простое число.

«мультипликативный» = мы заботимся только о умножении элементов
«по модулю р» = мы делаем наши операции умножения по модулю р
«группа» = она имеет свойства группы (см. ниже)

Обратите внимание, что в множестве нет нуля, что все элементы попарно не совпадают друг с другом по модулю $ p $, и что ни один элемент не делится или не имеет общего множителя с $ p $. Мы будем использовать эти свойства позже. Смотрите также примечание 1 ,

Группа обозначается как $ \ mathbb {Z} _p ^ * $, но вы также можете встретить $ \ mathbb {Z} _p ^ {\ times} $, $ \ mathbb {F} _p ^ * $, $ GF ( p) ^ * $, $ (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ * $ и другие подобные варианты.

Он удовлетворяет пяти аксиомам для абелевой группы.

  • G1 Закрытие. Любые два элемента в множестве, умноженные вместе по модулю $ p $, дают другой элемент в множестве.
  • G2 личность. Число 1 является мультипликативным тождеством и дает $ 1 \ cdot x = x = x \ cdot 1 $ для любого $ x $ в множестве.
  • G3 Инверсы. Каждый элемент $ x $ в наборе имеет соответствующий обратный элемент $ x ^ {- 1} $ в наборе такой, что $ xx ^ {- 1} = 1 = x ^ {- 1} x \ pmod {p} $.
  • G4 Ассоциативность. Для любых элементов $ a, b, c $ в наборе $ a (bc) = (ab) c \ pmod {p} $.
  • G5 Коммутативность. Для любых двух элементов $ a, b $ в наборе $ ab = ba \ pmod {p} $.

Аксиомы G4 и G5 наследуются от мультипликативных свойств целых чисел $ \ mathbb {Z} $, как и аксиома тождества G2. Те же самые правила ассоциативности и коммутативности применяются при модульном умножении, поэтому нам не нужно беспокоиться о порядке, в котором мы пишем термины в наших выражениях, и нам не нужно использовать скобки (если мы не решим). Две аксиомы G1 и G3 требуют дополнительного пояснения.

Чтобы показать, что аксиома замыкания (G1) верна, нам нужно показать, что произведение двух элементов никогда не может быть нулевым. Предположим, что $ xy \ эквивалента 0 \ pmod {p} $ для двух элементов $ x, y $ в наборе. Это означает, что либо $ x $, либо $ y $ делится на $ p $, что неверно: противоречие.

Чтобы показать, что инверсия существует для каждого элемента (аксиома G3), мы видим, что ни один элемент не имеет общего множителя с $ p $ или не делится на него. Таким образом, для любого элемента $ x $ в наборе $ \ gcd (x, p) = 1 $. От Личность Безу это означает, что существуют целые числа $ r $ и $ s $ такие, что $ xr + ps = 1 $. Мы можем переписать это как $ xr = 1 - ps $ или $ xr \ эквивалента 1 \ pmod {p} $. Мы заключаем, что $ r $ (или $ r \ mod p $) является мультипликативным обратным к $ x $.

Резюме по теории групп

Группа $ (G, \ ast) $ - это набор $ G $ элементов (или членов) в групповой операции $ \ ast $, которые вместе удовлетворяют первым четырем групповым аксиомам G1-G4.

Исходя из этих четырех аксиом, мы можем доказать, что элемент идентичности уникален и что каждый элемент имеет уникальную обратную сторону. Элемент идентичности иногда обозначается как $ e $.

Если групповая операция коммутативна (и, следовательно, аксиома G5 выполняется), мы называем $ G $ абелевой группой, названной в честь норвежского математика Нильса Абеля. Примером группы, которая не является коммутативной, является множество матриц $ 2 \ times 2 $ при умножении матриц. Обратите внимание, что группа $ \ mathbb {Z} _p ^ * $ абелева.

Подгруппа $ H $ группы $ G $ - это подмножество элементов $ H \ subseteq G $, которое включает в себя единичный элемент и подчиняется замыканию и инвертирует аксиомы. Свойства ассоциативности и коммутативности предоставляются бесплатно.

Порядок группы - это количество элементов в множестве $ G $, обозначаемое как | | G | $.

Если множество $ G $ конечно (т. Е. $ | G | \ lt \ infty $), мы называем группу конечной группой. Группа $ \ mathbb {Z} _p ^ * $ конечна и имеет порядок $ p-1 $.

Возведение

Для элемента $ a \ in G $ мы определяем $ a ^ n $ (читаем «$ a $ в степени $ n $») как $ a ^ n = a \ ast a \ ast \ cdots \ ast a $ [$ n $ раз].

Для группы $ \ mathbb {Z} _p ^ * $ нотация $ a ^ n $ соответствует обычному значению модульного возведения в степень, где $ a ^ n $ - это элемент $ a $, умноженный на себя $ n $ раз ($ мод р $, конечно).

Из этого определения легко можно показать, что применяются обычные законы экспоненты:

$ a ^ mb ^ m = (ab) ^ m $
$ a ^ ma ^ n = a ^ {m + n} $
$ \ left (a ^ m \ right) ^ n = a ^ {mn} $

Обратите внимание, что индексы $ m $ и $ n $ являются целыми числами, а не элементами группы, поэтому вы можете добавлять и умножать их обычным способом. Например, мы можем написать $ \ left (a ^ m \ right) ^ n = a ^ {mn} = a ^ {nm} = \ left (a ^ n \ right) ^ m $. Они работают и с отрицательными значениями, если мы определим $ a ^ {- m} = \ left (a ^ {- 1} \ right) ^ m $. Для нулевого показателя $ a ^ 0 = 1 $ - единичный элемент.

Порядок элемента

Порядок элемента $ a \ in G $ определяется как наименьшее целое число $ m $ такое, что $ a ^ m = 1 $. Обозначим это как $ \ ord (a) = m $. (Обратите внимание, что это не то же самое, что порядок в группе.)

Циклические группы и генераторы

Если существует элемент $ g \ in G $ с порядком, равным $ | G | $, то мы говорим, что группа циклическая. Мы говорим, что элемент $ g $ порождает группу, а $ g $ является генератором или примитивным элементом группы.

Все циклические группы абелевы, но не все абелевы группы циклические. Все подгруппы циклической группы также являются циклическими.

Не все элементы циклической группы $ G $ порождают группу. Элемент $ a $ порядка $ m \ lt | G | $ сгенерирует подгруппу порядка $ m $, поскольку по определению $ a ^ m = 1 $ и поэтому элементы начнут повторяться после $ a ^ m $, поскольку $ a ^ {m + 1} = a ^ 1 $.

Обозначим множество элементов, порожденных элементом $ a $, через $ \ langle a \ rangle $. Поэтому, если $ \ ord (a) = m $, то $ \ langle a \ rangle = \ {a ^ 1, a ^ 2, \ ldots, a ^ m \} $.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа - одна из первых «интересных» теорем о группах.

Теорема Лагранжа. Если $ G $ - конечная группа и $ H $ - подгруппа в $ G $, то порядок в $ H $ делит порядок в $ G $.

Следствием этого, иногда определяемым как сама теорема Лагранжа, является

Если $ G $ - конечная группа порядка $ n $ и $ g \ in G $, то порядок $ g $ делит $ n $.

Другое следствие состоит в том, что группа с порядком $ | G | $, равным простому числу, всегда циклическая.

Вернуться к $ \ mathbb {Z} _p ^ * $

Интересно, что группа $ \ mathbb {Z} _p ^ * $ всегда циклическая, хотя ее порядок $ p-1 $ не является простым числом (ну, для $ p \ gt 3 $). Кит Конрад [ CONRAD ] дает шесть разных доказательств этого.

Это означает, что для некоторого $ g \ in \ mathbb {Z} _p ^ * $ мы имеем

$ \ {g ^ 1, g ^ 2, \ ldots, g ^ {p-1} \} = \ mathbb {Z} _p ^ * $

Маленькая теорема Ферма

Также обратите внимание, что для любого элемента $ a \ in \ mathbb {Z} _p ^ * $ у нас всегда есть $ a ^ {p-1} = 1 $. Это является следствием теоремы Лагранжа и фактически приводит к очень короткому доказательству маленькой теоремы Ферма, которую можно сформулировать как

Теорема (Ферма). Для любого простого $ p $ и любого целого числа $ a $, не кратного $ p $, $ a ^ {p-1} \ экв. 1 \ pmod {p} $.

Сокращение показателей

В любой циклической группе с порядком $ m $ мы можем уменьшить показатели по модулю $ m $, поэтому $ a ^ i \ cdot a ^ j = a ^ {i + j \ pmod {m}} $. Это следует из свойства $ a ^ m = 1 $.

Следовательно, в $ \ mathbb {Z} _p ^ * $ мы можем уменьшить показатели по модулю $ p-1 $, поэтому $ a ^ i \ cdot a ^ j = a ^ {i + j \ pmod {p-1}} $. Например:

Пусть $ p = 11 $ и вычислим $ a ^ i \ cdot a ^ j $ для $ a = 9 $ с $ i = 6 $ и $ j = 8 $. Долгий путь у нас есть $ a ^ 6 = 9 $ и $ a ^ 8 = 3 $, поэтому $ a ^ 6 \ cdot a ^ 8 = 9 \ times 3 = 27 \ эквивалента 5 $, или, проще говоря, $ a ^ 6 \ cdot a ^ 8 = a ^ {14 \ pmod {10}} = a ^ 4 = 5 $.

Это может ввести в заблуждение, поскольку мы умножаем по модулю $ p $, но уменьшаем показатели по модулю $ p-1 $. Это, однако, полезный прием для упрощения вычислений вручную.

Генераторы с $ p = 11 $

Рассмотрим случай, когда $ p = 11 $, поэтому группа $ \ mathbb {Z} _ {11} ^ * = \ {1,2, \ ldots, 10 \} $ с порядком $ p-1 = 10 $.

Рассмотрим элемент $ g = 2 $ и генерируемые им элементы (все вычисляются по модулю $ p $).

$ Г ^ 1 = 2; g ^ 2 = 2 \ cdot 2 = 4; g ^ 3 = 4 \ cdot 2 = 8; g ^ 4 = 8 \ cdot 2 = 16 \ эквивалент 5; g ^ 5 = 5 \ cdot 2 = 10; g ^ 6 = 10 \ cdot 2 = 20 \ эквивалент 9; g ^ 7 = 9 \ cdot 2 = 18 \ экв. 7; g ^ 8 = 7 \ cdot 2 = 14 \ экв. 3; g ^ 9 = 3 \ cdot 2 = 6; g ^ {10} = 6 \ cdot 2 = 12 \ эквивалент 1. $
То есть $ \ langle 2 \ rangle = \ {2,4,8,5,10,9,7,3,6,1 \} = \ mathbb {Z} _ {11} ^ * $ и $ \ Ord (2) = 10 $.

Но элемент $ g = 3 $ порождает только подгруппу порядка 5.

$ Г ^ 1 = 3; г ^ 2 = 9; г ^ 3 = 27 \ экв 5; г ^ 4 = 15 \ экв 4; г ^ 5 = 12 \ эквивалент 1. $
То есть $ \ langle 3 \ rangle = \ {3,9,5,4,1 \} $, поэтому $ \ ord (3) = 5 $.

А элемент $ g = 10 $ порождает только подгруппу порядка 2.

$ Г ^ 1 = 10; г ^ 2 = 100 \ эквивалент 1. $
То есть $ \ langle 10 \ rangle = \ {10,1 \} $, поэтому $ \ ord (10) = 2 $.

Для такой небольшой группы мы можем вычислить порядок всех элементов напрямую.

$ a $ $ \ langle a \ rangle $ $ \ ord (a) $ 1 $ \ {1 \} $ 1 2 {2,4,8,5,10,9,7,3,6,1} 10 3 {3,9,5,4,1} 5 4 {4,5,9,3,1} 5 5 {5,3,4,9,1} 5 6 {6,3,7,9,10, 5,8,4,2,1} 10 7 {7,5,2,3,10,4,6,9,8,1} 10 8 {8,9,6,4,10,3,2, 5,7,1} 10 9 {9,4,3,5,1} 5 10 {10,1} 2

Обратите внимание, что порядок любого элемента $ \ ord (a) \ in \ {1,2,5,10 \} $ делит порядок группы $ (10) $.

Фактически, для любого простого $ p $ мы имеем следующее:

  • Порядок $ 1 $ всегда равен 1.
  • Порядок $ p-1 $ всегда равен $ 2 $, так как $ (p-1) ^ 2 = p ^ 2 - 2p + 1 \ эквивалента 1 \ pmod {p} $.
  • Существует ровно $ \ phi (p-1) $ порождающих группы, где $ \ phi (n) $ - это функция Эйлера, число натуральных чисел которых меньше $ n $, взаимно простых с $ n $.

В нашем случае при $ p = 11 $ $ \ phi (p-1) = \ phi (10) = \ phi (2) \ phi (5) = (2-1) \ cdot (5-1) = 4 $, и мы видим, что у нас действительно есть ровно 4 генератора группы, а именно $ (2,6,7,8) $.

Фактически, если $ d $ является делителем $ p-1 $, то существуют $ \ phi (d) $ генераторы порядка $ d $.

В поисках генератора

Есть два способа найти генератор для $ \ mathbb {Z} _p ^ * $, оба неосуществимы для больших простых чисел с 1000 битами, которые мы используем в криптографии.

Первый способ - выбрать подходящее целое число $ a \ in \ mathbb {Z} _p ^ * $ и показать, что $ a ^ i \ neq 1 $ для $ i = 1, \ ldots, p-2 $. Это становится большой работой для больших простых чисел $ p $.

Второй метод состоит в том, чтобы факторизовать $ p-1 $ и использовать свойство, что $ a $ является генератором тогда и только тогда, когда $ a ^ {(p-1) / q} \ not \ эквивалента 1 \ pmod {p} $ для все простые числа $ q $, которые делят $ p-1 $. Таким образом, нам нужно только проверить нашего кандидата $ a $ против всех основных факторов $ p-1 $. Но факторизация $ p-1 $ для большого $ p $ также является сложной проблемой.

Большой главный фактор

В методах криптографии, которые используют дискретные логарифмы в $ \ mathbb {Z} _p ^ * $, важно использовать генератор $ g $, который не генерирует небольшую подгруппу. В идеале мы хотели бы, чтобы $ g $ генерировал всю группу, но это трудно найти для большого $ p $. Вместо этого мы удостоверимся, что $ p-1 $ имеет большой простой множитель, $ q $, и убедимся, что $ g $ является генератором этой подгруппы.

То есть мы выбираем простое $ p $ так, чтобы $ p = jq + 1 $, где $ j $ - большое четное число, иногда называемое кофактором. Затем мы выбираем генератор $ g $, который порождает эту большую подгруппу порядка $ q $ по модулю $ p $. Мы знаем, что есть $ \ phi (q) = q-1 $ таких генераторов, поэтому их легко найти.

Чтобы найти подходящий генератор, мы выбираем случайное число $ h $ в диапазоне $ 1 \ lt h \ lt p-1 $ и вычисляем $ g = h ^ j \ pmod {p} $. Если $ g \ gt 1 $, используйте $ g $. В противном случае, если $ g = 1 $, выберите другой $ h $.

Дискретный логарифм

Дискретный логарифм целого числа $ x $ к основанию $ g $ по модулю $ p $ определяется как целое число $ n $ такое, что $ g ^ n \ pmod {p} $. То есть

$ \ log_g x \ экв. n \ pmod {p} \ quad \ Leftrightarrow \ quad x \ экв. g ^ n \ pmod {p} $

Проблема дискретного логарифма (DLP)

Задача дискретного логарифма (DLP) для $ \ mathbb {Z} _p ^ * $

Учитывая $ g, x \ in \ mathbb {Z} _p ^ * $, найдите $ n $ такой, что $ x \ эквивалент g ^ n \ pmod {p} $.

В настоящее время это неразрешимая проблема для больших $ p $ порядка $ 2 ^ {1024} $.

Аналогично, если $ p-1 $ имеет большой простой множитель $ q $ и $ g $ является генератором порядка $ q $, то трудно найти $ n \ in [2, q-2] $ при заданном $ g $ и $ g ^ n \ pmod {p} $. Для простого $ p $, равного 1024 битам, простой коэффициент $ q $ должен быть не менее 160 бит.

Заметки

  1. Конгруэнтные классы и представители. Строго говоря, элементы группы являются классами конгруэнции. Класс конгруэнции по модулю $ p $ целого числа $ r $ - это множество всех целых чисел, конгруэнтных $ r $ по модулю $ p $, обычно обозначаемое как $ [r] _p $. Таким образом, $ [r] _p $ - это множество всех целых чисел вида $ r + kp $. Если мы строгие, мы должны написать

    $ \ mathbb {Z} _p ^ * = \ {[1] _p, [2] _p, \ ldots, [p-1] _p \} $.

    Любой элемент $ x $ класса конгруэнции по модулю $ p $ называется представителем класса, а класс конгруэнции может быть помечен любым элементом в классе. Например, для $ p = 5 $ мы могли бы написать, если пожелаем, $ \ mathbb {Z} _5 ^ * = \ {1, 2, 3, 4 \} $ или
    $ \ mathbb {Z} _5 ^ * = \ {6, 7, 8, 9 \} $ или
    $ \ mathbb {Z} _5 ^ * = \ {11, 17, 23, 29 \} $.
    Мы можем даже использовать числа Клингона,
    $ \ mathbb {Z} _5 ^ * = $ { Любой элемент $ x $ класса конгруэнции по модулю $ p $ называется представителем класса, а класс конгруэнции может быть помечен любым элементом в классе , , , }

    Наиболее удобной маркировкой для $ \ mathbb {Z} _p ^ * $ является использование наименьших положительных вычетов по модулю p, $ \ {1,2, \ ldots, p-1 \} $. Что возвращает нас туда, откуда мы начали. Использование каких-либо других представителей редко дает какие-либо преимущества (кроме математиков-клингонов), поэтому вам не нужно слишком беспокоиться о классах и представителях конгруэнтности. Представление с наименьшим положительным вычетом имеет преимущество в том, что выражение «$ a = b \ bmod p $» можно использовать взаимозаменяемо с отношением конгруэнции «$ a \ экв. B \ pmod {p} $». Однако в доказательствах может быть удобно иметь возможность записать элемент группы $ r $ в виде целого числа $ r + kp $.

Рекомендации

  • [CHIL09] Чайлдс, Линдсей Н. Конкретное введение в высшую алгебру , Springer Science + Business Media LLC, 2009.
  • [КОНРАД] Конрад, Кит. Цикличность (Z / (p)), < cyclicFp.pdf >.
  • [SMIT00] Смит, Джефф и Ольга Табачникова. Темы в теории групп Springer-Verlag, Лондон, 2000.
  • [STIN02] Стинсон, Дуглас Р. Теория и практика криптографии , 2-е изд, Chapman & Hall / CRC, 2002.

Подтверждения

Спасибо Тому Верхоффу за его предложения по уменьшению показателей.

Связаться с нами

Чтобы прокомментировать эту страницу или связаться с нами, пожалуйста, отправьте нам сообщение ,

Эта страница впервые опубликована 3 сентября 2013 года. Последнее обновление 14 мая 2019 года.

Похожие

[ВИДЕО] Сокращение матча с Казахстаном
... p-content/uploads/2019/11/ru-video-sokrasenie-matca-s-kazahstanom-1.jpg> После ничьей с Казахстаном сборная Польши начала борьбу в отборочных раундах чемпионата мира. Хотя бело-красные пошли на перерыв с лидерством в два мяча, после смены сторон хозяевам удалось выровняться, и матч завершился с разделением очков. Следующим соперником команды Адама Навалки станет команда Дании, с которой они сыграют 8 октября в 20:45 в PGE National.
Большой рот Сезон 2: композитор говорит, что лучшая песня от Дэвида Тьюлиса
... позитора Марк Риверс было три ключа к взлому Большой рот Песня первого сезона «Totally Gay»: обнадеживающая лирика, вдохновленная Queen мелодия и находка певца, который действительно мог бы звучать как Фредди Меркьюри. «Если бы он не смог сделать хорошего Фредди Меркьюри, все это было бы просто некачественно», - сказал Риверс в интервью IndieWire во время съемок во 2-м сезоне.
Липосакция, липосакция - Артпластика - цены, фото, отзывы
Липосакция ( процедура липосакции ) - в последнее время приобрела огромную популярность на Западе. Поддержание веса, пропорционального силуэту и силе скелетной системы, стало особенно трудным в эти времена, что приводит к сидячему образу жизни, стрессу и нерегулярному и часто необдуманному способу питания. Липосакция - это процедура, которую часто путают с похудением, что является
MIX все еще в эпоху супер-подписки и предоплаченных предложений?
... с фиксированной ежемесячной стоимостью (если вы используете только пакетные услуги) и дешевым телефоном. Как выглядит MIX, выглядит ли он «на заднем плане» подписок и услуг с предоплатой и действительно ли это выгодно? Мы проверим это в списке ниже. Единственные операторы, в настоящее время предлагающие этот тип решения, это PLAY, Plus и T-Mobile. Orange, по крайней мере 3-4 года, не продает MIX и Zetafon, которые действуют по правилам, аналогичным MIX. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ
Мармароси - Альпы среди Карпат
Во время этого трехдневного похода по Карпатских горах, Вы попадете в интересный и уникальный район Украинских Карпат. В народе эти горы называют «Гуцульские Альпы» - они же же, живописные Мармароси! Маршрут: c. Деловое-вод. Ялинський-пол. Берлебашка-ч. Поп-Иван (1938 м)-пол. Магура-м. Рахов Расстояние: 40 км Сложность: 1 2 3 4 5 (относительно туров этой же категории)
Влияние подсказок и обратной связи на остановку водителей на стоп-знаках
... p> J Appl Behav Anal. Весна 2006 года; 39 (1): 117–121. Луи Хагопян, боевик Университет Западного Мичигана Запросы на информацию или перепечатки могут быть направлены Джону Остину, Университет Западного Мичигана, факультет психологии, Каламазу, Мичиган, 49008, электронная почта: ude.hcimw@nitsua.nhoj Получено в 2004 г. 26 апреля; Принято 2005 17 октября. Эта статья была
Ваш ребенок хочет играть ночью или вернуться в прошлое
... потому что у меня есть интересные слова ( ля-ля-ля , пфе-пфе и ба-ба в разных конфигурациях) и замечательная мелодия, если бы не выступления, которые начинались в три. НОЧЬЮ К счастью, это случалось не очень часто и долгое время вообще не появлялось. Любознательная мама тогда читала тут и там и сейчас хочет поделиться с вами этими знаниями . Если кто-то скажет вам, что трехчасовой
С этой фотографией «левого» ПО она нарушила законные права PZPN
Платформа Obywatelska на своем Facebook разместила графику с изображением Роберта Левандовски. Одна и та же картина использовалась несколько раз в паутине, и никто не возражал против нас. Почему тогда PZPN отправил письмо на Civic Platform и приказал удалить картинку, и мы все еще можем ее использовать? Вопреки видимости, все просто. Речь идет о фотографии Роберта Левандовски, которая также является основной иллюстрацией
Управление гневом
... се испытываем. Однако вам нужно знать, как правильно выразить это, чтобы сохранить себя и других в безопасности и благополучии. Ключевые моменты Гнев может варьироваться от легкого чувства раздражения или раздражения до очень сильного чувства ярости и ярости. Гнев - это нормальная эмоция. Выраженный в здоровой форме, он может быть использован, чтобы зарядить нас энергией, преодолеть препятствия, решить проблемы и достичь целей. Но есть и нездоровые
Периостеит большеберцовой кости, или голени
Вы часто чувствуете боль в икрах? Вы бегун и после усилий у вас есть передняя голень? Или, может быть, вы решили сделать интенсивную тренировку, и теперь вы чувствуете сильный дискомфорт вокруг икр? Означает ли боль в передней части голени, которую часто называют «болью в большеберцовой кости», означает, что наши кости болят? Не обязательно.
Силовые тренировки - советы начинающим
... p> Последующее уменьшение мышечной массы, работоспособности, силы и силовой выносливости с возрастом заставляет повседневную деятельность начать подавлять физическую работоспособность человека. Они становятся «наказанием», ограничивая активность практически во всех сферах жизни. Метаболическая эффективность системы также снижается. Есть нежелательные изменения в позе тела и осанки. Рис.

Комментарии

Какая проблема у Гражданской Платформы?
Какая проблема у Гражданской Платформы? Помимо вопроса опросов, у ПО есть проблема с фотографией, которая была размещена на официальном профиле партии в фейсбуке. После победы поляков там появилась такая графика:
Может ли Агент уйти, а затем вернуться?
Может ли Агент уйти, а затем вернуться? До сих пор я не слышал об издании, в котором одновременно было бы два Агента. Однако правила программы могут измениться, и все зависит от фантазии продюсеров. 🙂 В программе «Агент - Звезды» «Крот» есть только одна удача. Но внимание, в австралийской версии программы Агент выпал из программы и позже вернулся к ней ... 8. Почему Antek вернулся в программу? Будет ли раскрыт секрет его возвращения в последнем эпизоде?
БС: Какие у вас были любимые советы и рекомендации по макияжу и красоте во всех снимках, которые вы делали, и о том, что вы делали?
БС: Какие у вас были любимые советы и рекомендации по макияжу и красоте во всех снимках, которые вы делали, и о том, что вы делали? А.Х .: Увлажнение всегда. BS: Какой самый лучший совет, который ты когда-либо давал тебе, красавица или кто-то еще? А.Х .: Всегда чувствую себя комфортно. Момент, когда вам неудобно, это показывает. Наслаждайся как можно больше. BS: Как вы попали в G Fine Body Art и каково было снимать кампанию?
Хотите рекомендации для больше, чем просто вегетарианские места?
Хотите рекомендации для больше, чем просто вегетарианские места? Скачать мой всеобъемлющий Амстердамский ресторанный путеводитель здесь , Бетти Есть очень мало ресторанов, до которых я доберусь на велосипеде 7 км, и Бетти - один из них. Это на Рейнстраате, который не так далеко от города, если ты живешь на юге, но если ты приезжаешь из моего района (Вестерпарк), это немного
И как случилось, что она стала большой звездой от обычного подростка?
И как случилось, что она стала большой звездой от обычного подростка? Это началось, так же, как ты Бритни Спирс Джастин Тимберлейк и многие другие из выступлений в клубе Микки Маус (1992). С тех пор она начала путешествовать и усиленно тренировать свой голос. & NBSP
Большой вопрос в том, достаточно ли велики обновления, чтобы отразить новое имя, или Galaxy Watch - просто стильное продолжение Gear Sport, которое также должно привлечь широкую аудиторию?
Большой вопрос в том, достаточно ли велики обновления, чтобы отразить новое имя, или Galaxy Watch - просто стильное продолжение Gear Sport, которое также должно привлечь широкую аудиторию? И этот редизайн действительно является ключом, возможно, к успеху Galaxy Watch, так как, несмотря на то, что эти новые умные часы содержат некоторые изящные новые функции, тот факт, что они больше похожи на обычные часы, без сомнения, будет решающим фактором в отношении того, будут ли потенциальные пользователи
После большой миски супа, вы не можете продолжать лить воду, не так ли?
После большой миски супа, вы не можете продолжать лить воду, не так ли? Также не стоит пить воду до тех пор, пока вы не захотите пить , как мы уже говорили, это означает, что вы уже обезвожены. Лучше всего делать воду выпивкой рутинной задачей: выпивайте стакан воды, когда вы просыпаетесь, чашку перед каждым приемом пищи (вы съедите много личного опыта), стакан между приемами пищи и не забывайте пить воду до, во время и после тренировки. Обычно

Как выглядит MIX, выглядит ли он «на заднем плане» подписок и услуг с предоплатой и действительно ли это выгодно?
Почему тогда PZPN отправил письмо на Civic Platform и приказал удалить картинку, и мы все еще можем ее использовать?
Вы бегун и после усилий у вас есть передняя голень?
Или, может быть, вы решили сделать интенсивную тренировку, и теперь вы чувствуете сильный дискомфорт вокруг икр?
Означает ли боль в передней части голени, которую часто называют «болью в большеберцовой кости», означает, что наши кости болят?
Какая проблема у Гражданской Платформы?
Может ли Агент уйти, а затем вернуться?
8. Почему Antek вернулся в программу?
Будет ли раскрыт секрет его возвращения в последнем эпизоде?
БС: Какие у вас были любимые советы и рекомендации по макияжу и красоте во всех снимках, которые вы делали, и о том, что вы делали?